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二分查找法

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二分查找法

二分查找法（Binary Search）是一种在有序数组或列表中快速查找目标值的算法。它通过将查找范围逐步减半，有效地减少了比较次数，时间复杂度为O(logN)，适用于数据量较大且有序的场景。

左闭右闭区间 [left, right]

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int binarySearchClosed(int target) {
    int left = 0;
    int right = n - 1; // 初始化右边界为数组最后一个索引
    while (left <= right) { // 区间为 [left, right]
        int mid = left + (right - left) / 2; // 防止溢出
        if (arr[mid] > target)
            right = mid - 1; // 缩小右边界
        else if (arr[mid] < target)
            left = mid + 1; // 缩小左边界
        else
            return mid; // 找到目标
    }
    return -1; // 未找到
}

左闭右开区间 [left, right)

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int binarySearchOpen(int target) {
    int left = 0;
    int right = n; // 初始化右边界为 n（超出有效索引范围）
    while (left < right) { // 区间为 [left, right)
        int mid = left + (right - left) / 2; // 防止溢出
        if (arr[mid] > target)
            right = mid; // 缩小右边界，但不包括 mid
        else if (arr[mid] < target)
            left = mid + 1; // 缩小左边界
        else
            return mid; // 找到目标
    }
    return -1; // 未找到
}

变体

查找元素第一次出现的位置

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int binarySearchFirstOccurrence(int target) {
    int left = 0;
    int right = n - 1; 
    int result = -1; // 用于记录目标值的第一个位置
    while (left <= right) { 
        int mid = left + (right - left) / 2; 
        if (arr[mid] > target) {
            right = mid - 1; 
        } else if (arr[mid] < target) {
            left = mid + 1; 
        } else {
            result = mid;     // 记录当前匹配位置
            right = mid - 1;  // 继续向左查找
        }
    }
    return result; // 返回找到的第一个位置，若未找到则为 -1
}

查找>=target的第一个元素的位置

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int binarySearchFirstGE(int target) {
    int left = 0;
    int right = n - 1; 
    int result = -1;   // 记录满足条件的最小索引
    while (left <= right) { 
        int mid = left + (right - left) / 2; 
        if (arr[mid] >= target) {
            result = mid;     // 记录当前索引
            right = mid - 1;  // 继续向左搜索
        } else {
            left = mid + 1; 
        }
    }
    return result; // 返回找到的第一个 >= target 的元素索引，未找到则返回 -1
}

查找<=target的最后一个元素的位置

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int binarySearchLastLE(int target) {
    int left = 0;
    int right = n - 1; 
    int result = -1;   // 记录满足条件的最大索引
    while (left <= right) { 
        int mid = left + (right - left) / 2; 
        if (arr[mid] <= target) {
            result = mid;     // 记录当前索引
            left = mid + 1;   // 继续向右搜索
        } else {
            right = mid - 1; 
        }
    }
    return result; // 返回找到的最后一个 <= target 的元素索引，未找到则返回 -1
}

查找函数的根

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//分成多个小区间，分别查找
double BS(double l, double r){
	while (r - l > 0.0001) {
		double mid = (l + r) / 2;
		if (f(l) * f(mid) <= 0) {
			r = mid;
		} else {
			l = mid;
		}
	}
	return (l + r) / 2;
}

查找在三角形中一个元素位于几行几列

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/101921/C

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#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int findrow(int x) {
	int l = 1;
	int r = 1e9;
	int ans = -1;
	while (l <= r) {
		int mid = (l + r) / 2;
		int sum = mid * (mid + 1) / 2;
		if (sum >= x) {
			r = mid - 1;
			ans = mid;
		} else {
			l = mid + 1;	
		} 
	}
	return ans;
}

void solve() {
	int n, l, r;
	cin >> n >> l >> r;
	int l_row = findrow(l), r_row = findrow(r);
	if (l_row == r_row) {
		cout << "Yes" << endl;
	} else if (l_row + 1 == r_row) {
		int first_l_row = (l_row - 1) * l_row / 2 + 1;
		int l_col = l - first_l_row + 1;
		int first_r_row = (r_row - 1) * r_row / 2 + 1;
		int r_col = r - first_r_row + 1;
		if (l_col > r_col) {
			cout << "Yes" << endl;
		} else {
			cout << "No" << endl;
		}
	} else {
		cout << "No" << endl;
	}
}

signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
	int t = 1;
	cin >> t;
	while (t--) {
		solve();
	}
	
	return 0;
}

查找等腰梯形

https://codeforces.com/problemset/problem/2061/B

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#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

// < x 的最后一个元素
int find(int begin, int n, vector<int>& arr, int key) {
	int l = begin;
	int r = n - 1;
	int ans = -1;
	while (l <= r) {
		int mid = (l + r) / 2;
		if (arr[mid] < key) {
			ans = mid;
			l = mid + 1;
		} else {
			r = mid - 1;
		}
	} 
	return ans;
}

void solve() {
	int n;
	cin >> n;
	vector<int> arr(n);
	map<int, int> cnt;

	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> arr[i];
		cnt[arr[i]]++;
	}
	
	sort(arr.begin(), arr.end());
	
	int sum = 0;
	int a, b, c, d;
	
	for (auto x : cnt) {
		if (x.second >= 2) {
			sum++;
			if (sum == 1) {
				a = x.first;
				b = x.first;
			} 
			else if (sum == 2) {
				c = x.first;
				d = x.first;
			}
			if (sum == 2) break;  
		} 
	}
	
	if (sum >= 2) {
		cout << a << " " << b << " " << c << " " << d << endl;
		return;
	} else if (sum == 0) {
		cout << -1 << endl;
		return;
	} else {
		// 在a, b确定的情况下查找c, d
		// abs(c - d) < a + b
		// 我们从左到右枚举 c, 然后从 c 以后的位置开始查找 d
		// 这时候 d 总会比 c 大, 也就是说 d < a + b + c
		
		// lower_bound
		// 查找 >= x 的第一个元素
		
		// upper_bound
		// 查找 > x 的第一个元素

		auto pos = lower_bound(arr.begin(), arr.end(), a);
		
		// 使用erase后下标会发生变化
		// 删除 a, b
		
		arr.erase(pos);
		arr.erase(pos);
		n = arr.size();
		
		// 使用 continue 可以减少if-else的嵌套
		
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			c = arr[i];
			if (i + 1 >= n) continue;
			int pos_d = find(i + 1, n, arr, a + b + c);
			if (pos_d == -1) continue;
			else {
				d = arr[pos_d];
				cout << a << " " << b << " " << c << " " << d << endl;
				return;
			}
		}
	}
	
	cout << -1 << endl;
}

signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
	int t = 1;
	cin >> t;
	while (t--) {
		solve();
	}
	
	return 0;
}